|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Bewijs omtrent cos 4A cos4B cos4C = -1
Op hoeveel manieren kunnen 5 koppels op 1 rij staan voor de foto als de partners van de koppels niet naast elkaar mogen staan?
De uitkomst in het boek is 10!-10·1·8!
maar ik zie niet wat die 10·1·8! wil zeggen.
Is dat niet 1 paar dat naast elkaar staat dat ervan wordt afgetrokken? Volgens mij is die uitkomst niet juist maar ik kom er niet uit...
Antwoord
Dag Jo,
Ik denk dat je gelijk hebt dat het niet klopt. Het antwoord moet zijn: 39480, eventueel nog te vermenigvuldigen me 25, als je van alle paren ook man en vrouw mag verwisselen.
Zie: A114938 OEIS.org
Een formule: De som van (n boven i) ·(-1)n-i·(n+i)! /2^i voor i=0 t/m n-2.
Voor n=5 wordt dat:-120+1800-12600+50400=39480.
Een andere recursieve formule:
a(n)=n·(2n-1)·a(n-1)+(n-1)·n·a(n-2).
Als a(1)=0, a(2)=2, dan volgt
a(3)=30+0=30
a(4)=28·30+12·2=864
a(5)=45·864+20·30=39480
De preciese uitleg over deze formules moet ik je schuldig blijven. Zie voor meer informatie:
http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ec1.pdf, blz. 228 voorbeeld 2.2.3.
Met dank aan D.v.L: De bovenste formule , waarbij je i echter van 0 naar n laat lopen (maakt niet uit, want die laatste twee termen van de som formule vallen tegen elkaar weg) kan je schrijven als:
10!-10·9!+40·8!-80·7!+80·6!-32·5!
Uitleg:10! is alle mogelijk volgorden.
Dan verminder je dat met minstens 1 paartje naatst elkaar: Dat geeft b.v. het rijtje 11,2,3,4,5,2,3,4,5. Dat moet je zien als 9 gegevens., Dus 9! volgorden. Maar dat paartje 11 mag je verwisselen, dus ·2: EN er zijn 5 keuzemogelijkheden voor dat paartje dat naast elkaar staat. Totaal: -5·2·9!.
Maar nu heb je teveel afgetrokken: Er kunnen ook minstens 2 paartjes naastelkaar staan: 11,22,3,4,5,3,4,5: geeft 8! volgorden met keuze uit 2 van de 5 (5 boven 2)=10, waarbij die twee paartjes man en vrouw mogen verwisselen. Dat geeft nog 4 mogelijkheden: Totaal: +10·4·8!
Zo ga je door: Weer teveel bijgeteld, dus minstens 3 paartjes naastelkaar aftrekken: -(5 boven 3)·23·7!=-80·7!. enz.
Een heel verhaal!
Succes
Lieke.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
